Problema 2

Calcular la altura, $a$, de un árbol sabiendo que, si nos situamos 8 metros de la base del tronco, vemos la parte superior de su copa en un ángulo de 36.87º.

Como la altura $a$ es el cateto opuesto al ángulo, utilizaremos el seno:

Pero como necesitamos calcular la hipotenusa $h$ del triángulo, utilizamos el coseno:

Sustituimos los datos:

La hipotenusa mide

Por tanto, la altura del árbol es

Si el ángulo θ es agudo y cos θ = 3/5, calcula el valor de las seis funciones trigonométricas de θ.

Cateto adyacente = 3

Hipotenusa = 5

Aplicando el teorema de Pitágoras:

32 + (c. opuesto)2 = 52

(c. opuesto)2 = 52 – 32

(c. opuesto)2 = 16

Cateto opuesto = 4

Las funciones trigonométricas de este triángulo son las siguientes:

Sen θ = 4/5

Cos θ = 3/5

Tan θ = 4/3

Cot θ = 3/4

Sec θ = 5/3

Csc θ = 5/4

NOTA: Las calculadoras científicas tienen teclas como SIN, COS y TAN que se pueden usar para calcular los valores de esas funciones, antes de utilizar la calculadora para determinar los valores de funciones hay que seleccionar el modo grados o radián según nuestro ángulo.

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano

Al hacer las gráficas de las funciones trigonométricas siempre suponemos que los ángulos están en radianes.

EJEMPLO

Graficas de las siguientes funciones trigonométricas en el plano cartesiano

Qué es el Plano cartesiano:

Como plano cartesiano se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema. Su nombre cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes.

Un plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes o áreas producto de la unión de 2 rectas perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de las abscisas, ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje de las ordenadas, situado de manera vertical y, representado con la letra Y.

Vea también Vertical.

La finalidad del plano cartesiano es ubicar parejas de puntos llamadas coordenadas que se forman con un valor X y un valor Y representado como P(X,Y) por ejemplo: P(3,4) se puede observar que el 3 pertenece al eje de las abscisas y, el 4 al eje de las ordenadas.

Las razones de los lados de un triángulo rectángulo se llaman razones trigonométricas. Tres razones trigonométricas comunes son : seno (sin),coseno (cos) y tangente (tan). Estas se definen para el ángulo agudo $A$A como sigue:

$\maroonC{\text{adyacente}}$$\blueD{\text{opuesto}}$$\purpleC{\text{hipotenusa}}$$\sin (A) = \dfrac{\blueD{\text{opuesto}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}$$\cos (A) = \dfrac{\maroonC{\text{adyacente}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}$$\tan (A) = \dfrac{\blueD{\text{opuesto}}}{\maroonC{\text{adyacente}}}$$A$$B$$C$

En estas definiciones. los términos opuesto, adyacente e hipotenusa se refieren a las longitudes de esos lados.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 

SENO

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tg B.

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cos B.

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.